2.5 一点点矩阵

想要了解一点点矩阵，我们需要从色彩的显示说起,也就是我们常见的RGB(Red Green Blue)色彩模式：

通过调整三种颜色的比例，我们可以得到不同的颜色

本文采用mathjax对数学公式进行渲染

这个调色器，其实就是一个矩阵(matrix)。

矩阵是操作向量的工具。想要理解矩阵，就要先理解向量(vector)

对于计算机来说，向量是一组有序的数；而对于中学数学老师来说，向量是一个有向线段。

刚刚的RGB色值，也可以堪称一个向量：

可以表示为下列形式：

\[\left[ \begin{matrix} 66\\197\\181 \end{matrix} \right]\]

但如果我们定义一个坐标系，也可以在坐标系中把它标出来：

如果我们以R为x轴，G为y轴，B为z轴，建立空间直角坐标系：

它就在空间中的这个点

相应的，照片中每一个像素的色值，都可以在空间中找到对应的点。

接下来我们来认识一下矩阵：

先从一个我们小学二年级学过的二元一次方程组开始：

\[\begin{cases} 2x-y=0\\ -x+2y=3 \end{cases} \]

我们需要弄清楚Row和Column，即行和列的关系：

按照Row展开，它可以表现为如下的矩阵： \[\left[ \begin{matrix} 2&-1 \\ -1&2 \end{matrix} \right ]\left[ \begin{matrix} x\\ y\end{matrix} \right ]=\left[ \begin{matrix} 0\\ 3\end{matrix} \right ]\]

可以简化为Ax=b

注意它的系数是一一对应的！！！

容易看出，\(x=1,y=2\)是它的解

他也等价于下列图像：

而如果我们按Column展开，可以表现为如下的矩阵： \[x\left[ \begin{matrix} 2\\-1\end{matrix} \right ]+y\left[ \begin{matrix} -1\\ 2\end{matrix} \right ]=\left[ \begin{matrix} 0\\ 3\end{matrix} \right ]\]

从列图像的角度去理解线性组合，也即 \(Ax\) 就是对 \(A\) 的列向量进行 \(x\) 对应的组合（这种组合显然是线性的）。于是求解 \(Ax=b\) 也即对于给定 \(b\) 是否能找到一种组合方式 \(x\) 使得能够将 \(A\) 的各列向量组合形成 \(b\)。

如果说原来x轴的基向量\(\vec x=(1,0)\),则在上例中他的基向量变成了\(\vec x'= (2,-1)\) ,同理, \(\vec y'=(-1,2)\),我们需要寻找对应的x，y对两个基向量进行线性组合，让它的结果为向量(0,3)

也可以看成是在一个新的坐标系中，以x'和y'为基向量，寻找对应的x,y得到目标向量(0,3)

此时，我们就变换了坐标系。

回到我们熟悉的神经网络方程组(不熟悉的话马上就熟悉了)：

\[Z_1=W_1\times X_1 +W_2 \times X_2 + b_1\] \[Z_2=W_3\times X_1 +W_4 \times X_2 + b_2 \]

不看阈值b,可以将他写成下列的矩阵形式： \[\left[ \begin{matrix} W_1&W_2 \\ W_3&W_4 \end{matrix} \right ]\left[ \begin{matrix} X_1\\ X_2\end{matrix} \right ]=\left[ \begin{matrix} Z_1\\ Z_2\end{matrix} \right ]\] 即\(Z=WX\)

同样的道理，新的坐标系的基向量就变成了(W1,W3)和(W2,W4)。这就是矩阵的作用，通过改变基向量来改变坐标系。

同时，矩阵还能将二维平面的点映射到三维空间中去。比如下面的例子：

\[\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right ] \left[ \begin{matrix} -5 \\ 1 \end{matrix} \right ] = \left[ \begin{matrix} -5\\1\\1 \end{matrix} \right ]\]

可以在三维坐标系中这么表示：